虚拟变量回归模型

楚新元 / 2021-08-24

本案例研究对象为美国 1970-1995 年间收入存储关系，案例来源：古扎拉蒂《经济计量学》（第 4 版，张涛译）例 6-4，详见第 145-147 页。

数据：https://cxy.cc/source/Table6_7.xls
案例 PDF 版本：https://cxy.cc/source/dum_variable.pdf

表 1 给出了美国1970-1995年个人可支配收入（即税后收入）和个人储蓄，单位是10亿美元。目标是估计上述时期个人储蓄 $Savings_{t}$ 和个人可支配收入 $Income_{t}$ 的函数关系。

为了估计储蓄函数，需要在整个区间上做 $Savings_{t}$ 对 $Income_{t}$ 的回归。如果做这样的回归，则个人储蓄和个人可支配收入在整个样本区间内保持同样的关系。但这是一个不切实际的假设。众所周知，1982 年美国经历了和平时期最严重的经济衰退，当年的失业率达到 9.7%，创下了自 1948 年以来最高的记录。类似这样的事情可能会打破个人储蓄和个人可支配收入之间的关系。为了验证，我们把样本数据分为两个时期，1970-1981 年和 1982-1995 年，即分成萧条前后两个时期。

options(digits = 4)
library(readxl)
library(kableExtra)
data = read_xls("./data/Table6_7.xls")
data %>% 
  kable(
    caption = "美国个人储蓄和个人可支配收入（1970-1995年）",
    format = "html",
    booktabs = TRUE
  ) %>% 
  kable_styling(
    full_width = TRUE,
    font_size = 14
  ) %>% 
  add_footnote(
    label = "数据来源：总统经济报告，1997年，数据单位为十亿美元，摘自表B-28，第332页。",
    notation = "none"
  )

表 1：美国个人储蓄和个人可支配收入（1970-1995年）
Year	Savings	Income	D
1970	61.0	727.1	0
1971	68.6	790.2	0
1972	63.6	855.3	0
1973	89.6	965.0	0
1974	97.6	1054.2	0
1975	104.4	1159.2	0
1976	96.4	1273.0	0
1977	92.5	1401.4	0
1978	112.6	1580.1	0
1979	130.1	1769.5	0
1980	161.8	1973.3	0
1981	199.1	2200.2	0
1982	205.5	2347.3	1
1983	167.0	2522.4	1
1984	235.7	2810.0	1
1985	206.2	3002.0	1
1986	196.5	3187.6	1
1987	168.4	3363.1	1
1988	189.1	3640.8	1
1989	187.8	3894.5	1
1990	208.7	4166.8	1
1991	246.4	4343.7	1
1992	272.6	4613.7	1
1993	214.4	4790.2	1
1994	189.4	5021.7	1
1995	249.3	5320.8	1
数据来源：总统经济报告，1997年，数据单位为十亿美元，摘自表B-28，第332页。

原则上来说，能够分别对上述两个时期进行回归。但我们可以仅估计一个形式，只需要在模型中引入一个虚拟变量，比如 $D_{t}$，1982 年以前赋值为 1，1982 年及以后赋值为 0。建立计量经济模型的表达式如下：

$$ Savings_{t}=\alpha_{1}+\alpha_{2} D_{t}+\beta_{1} Income_{t}+\beta_{2}\left(D_{t} Income_{t}\right)+u_{t} $$

表 2 给出了回归结果。回归结果表明，差别截距 $\alpha_{2}$ 和差别斜率 $\beta_{2}$ 都是统计显著的，说明两个时期的储蓄-收入函数关系发生了改变。

fit1 = lm(Savings ~ Income, data = data)
fit2 = lm(Savings ~ D * Income, data = data)
fit1b = coef(fit1)
fit2b = coef(fit2)

library(stargazer)
stargazer(
  label = "tab:tb2",
  fit1, fit2,
  type = "html",
  title = "美国储蓄-收入关系的回归结果",
  dep.var.labels = "Savings", 
  intercept.bottom = FALSE,
  intercept.top = TRUE,
  header = FALSE,
  covariate.labels = c(
    "Intercept",
    "D",
    "Income",
    "D * Income"
  )
)

**美国储蓄-收入关系的回归结果**

	Dependent variable:

	Savings
	(1)	(2)

Intercept	62.420^***	1.016
	(12.760)	(20.160)

D		152.500^***
		(33.080)

Income	0.038^***	0.080^***
	(0.004)	(0.014)

D * Income		-0.065^***
		(0.016)


Observations	26	26
R²	0.767	0.882
Adjusted R²	0.758	0.866
Residual Std. Error	31.120 (df = 24)	23.150 (df = 22)
F Statistic	79.100^*** (df = 1; 24)	54.780^*** (df = 3; 22)

Note:	^p<0.1; ^p<0.05; ^**p<0.01

根据表 2 结果，可以推导出两个时期的储蓄回归方程。

$$ \widehat{Savings_{t}} = 1.0161 + 152.4786 D_{t} + 0.0803 Income_{t} - 0.0655\left(D_{t} Savings_{t}\right) $$

储蓄-收入：1970-1981年

$$ \begin{aligned} \widehat{Savings}_{t} = 1.0161 + 0.0803 Income_{t} \end{aligned} $$

储蓄-收入：1982-1995年

$$ \begin{aligned} \widehat{Savings_{t}} &= (1.0161 + 152.4786) + (0.0803 - 0.0655) Income_{t} \\ &=153.4947 + 0.0149Income_{t} \end{aligned} $$

可以看出，萧条前后两个时期的边际消费倾向（MPS，即收入美增加 1 个单位而增加的额外储蓄）存在显著差异。1970-1981 年的 MPS 为 8 美分，而 1982-1995 年的 MPS 仅为 1 美分。

案例更多内容请参阅古扎拉蒂和波特著《经济计量学精要》。